Boulangerie et température

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de \(225\; ^\circ \text{C}\).
On s’intéresse à l’évolution de la température d’une baguette après sa sortie du four.
On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l’aide d’une fonction \(f(t)\) représentant la température en degrés Celsius de la baguette au bout de la durée \(t\), exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, \(f(0{,}5)\) représente la température d’une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l’exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à \(25\; ^\circ \text{C}\).
On admet alors que la fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime} + 6y = 150\).

1. a. Préciser la valeur de \(f(0)\).
    b. Résoudre l’équation différentielle \(y^{\prime} + 6y = 150\).
    c. Déterminer la solution de cette équation qui vérifie la condition initiale correspondant à la température d'une baguette à la sortie du four.
2. À l'aide de la calculatrice ou autrement :
    a. Conjecturer l'évolution de la température d'une baguette au cours du temps, après sa sortie du four.
    b. Quelle semble être la température vers laquelle la température de la baguette tend à se stabiliser ?
    c. Ces conjectures semblent-elles cohérentes avec la vie réelle ?
3. Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à \(40\; ^\circ \text{C}\). Déterminer le temps d’attente minimal entre la sortie du four d’une baguette et sa mise en rayon.